May 2019

May 19 1a)​​ If​​ X1​​ has mean 4 and variance 9 and​​ X2​​ has mean -2 and variance 4 where​​ X1 and ​​ X2​​ are independent, find​​ E2X1+X23​​ and​​ V2X1+X23 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​​​ 5M

Answer:

Given that for​​ X1​​ : Mean = 4, Variance = 9

For​​ X2​​ : Mean = -2 , Variance = 4

Since​​ X1, X2​​ are independent,

EaX+bY+c=aEX+bEY+c​​ 

VaX+bY+c=a2VX+b2VY​​ 

E2X1+X23=2EX1+EX23​​ 

 ​​ ​​ ​​ ​​​​ =24+23

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =3​​ 

​​ V2X1+X23=22VX1+12VX2​​ 

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =49+14

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =40

 

May 19 1b) Find the extremals of​​ x1x2x+yydx ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 5M

Answer:

Let ​​ F=x+yy=xy+y2​​ 

Since F does not contain y explicitly, by corollary of Euler’s Lagrange equation​​ Fy=c​​ 

x.1+2y=c​​ 

2dydx=cx​​ 

dy=12cxdx​​ 

On integrating,​​ y=12cxx22+c2​​ 

y=12cx14x2+c2​​ 

Put​​ c1=12c​​ ​​ 

y=14x2+c1x+c2 ​​​​ is the required extremal.

 

 

 

May 19​​ 1b)​​ Verify​​ Cauchy-Schwartz inequality​​ u=4, 2, 1 and v=8,4,2 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 5M

Answer:

Given that,​​ u=4, 2, 1 and v=8,4,2

​​ u=42+22+12=21

v=82+(4)2+(2)2=84​​ 

Also,​​ u.v=21×84=42 ………(1)

 

u, v=48+24+12=3282​​ 

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =42​​ 

u, v=42​​ ………..(2)

From (1) and (2),

u, v=u.v  ​​ 

Thus, the​​ Cauchy-Schwartz inequality is verified.

 

May 19​​ 1d) Show that the matrix​​ A=223111131​​ is non-derogatory.  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 5M

Answer:

Let​​ λ​​ be Eigen Value of matrix A.

Characreistic equation is​​ Aλ=0​​ 

2λ2311λ1131λ=0​​ 

λ32+11λ2+45+4λ6=0 ​​ 

λ32λ25λ+6=0​​ 

​​ Eigen values,​​ λ​​ are 1, 2, -3

Since the eigen values of given matrix are distinct, Matrix A is non-derogatory.

 

 

May 19 2a) Using Cauchy’s​​ Residue​​ theorem evaluate​​ cz1z+12z2 ​​ where c is |z| =4  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 6M

Answer:

The circle |z| =4 has centre (0, 0) and radius 4.

Here,​​ z0=1​​ is a pole of order 2 and​​ z0=2​​ is​​ a simple pole.

z0=1 and z0=2​​ lies inside the circle.​​ 

R1​​ = Residue of f(z) at ‘z0=1​​ ‘

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =1n1! limzz0dn1dzn1zz0n×fz​​ 

 ​​ ​​​​ =121! limz1ddzz+12×z1z+12z2 

 ​​ ​​ ​​​​ =11!limz1z2.1z1.1z22​​ 

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =1122=19

 

R2​​ = Residue of f(z) at ‘z0=2

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =limzz0 zz0fz

 ​​ ​​ ​​ ​​​​ =limz2z2×z1z+12z2

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =212+12

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =19​​ 

By Cauchy’ Residue theorem,​​ fzdz=2πi R1+R2+R3+​​ 

 ​​​​ cz1z+12z+1dz=2πi . 19+19

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =0​​ 

 

 ​​​​ 

May 19 2b) Show that the extremal of the isoperimetric problem​​ lyx=x1x2y2dx=k​​ ​​ is a parabola.  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 6M ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 

Answer:

Let ​​ x1x2F dx=x1x2y2dx​​ and​​ x1x2G dx=x1x2y dx=k

F=y2  and G=y​​ 

Therefore, Lagrangian function,​​ H=F+λG​​ 

H=y2+λy​​ ………………..(1)

 

Hy=2y​​ …………….(2)

and​​ x1x2H dx=x1x2y2+λydx

Since the above integral does not contain ‘x’ explicitly, by corollary of Euler’s Lagrange equation,​​ HyHy=c

y2+λyy.2y=c​​ ………from (1) and (2)

y2+λy=c​​ 

y2=λyc​​ 

 

y=dydx=λyc​​ 

1λycdy=dx​​ 

1y ycλdy=dx​​ 

1λycλ12dy=dx​​ 

On integrating,​​ 1λ.ycλ1212=x+c1

ycλ12=λ2x+c1​​ 

Squaring both sides,

ycλ=λ4x+c12​​ 

y=λ4x+c12+cλ ​​​​ which is a parabola.

May 19 4c) Is the matrix​​ A=211121001​​ diagonalisable? If so find the diagonal matrix and the transforming matrix.  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 8M

Answer:

Let​​ λ​​ be the eigen vector of matrix A.

Characteristic equation is,​​ AλI=0​​ 

2λ1112λ1001λ=0​​ 

λ32+2+1λ2+2+2+3λ=0​​ 

λ35λ2+7λ3=0​​ 

Thus, the Eigen values are 1, 1, 3

I: When​​ λ=1​​ 

 

AλIX=0​​ 

111111000.x1x2x3=000​​ 

R2R1​​ 

111000000.x1x2x3=000​​ …………..(1)

 

No. of unknowns (n) =3

Rank ( r)= no. of non-zero rows =1

Algebraic multiplicity (A. M) = No. of times ‘λ=1’ is repeated =2​​ 

Geometric multiplicity (G. M) = n-r = 3 – 1 = 2

​​ A. M = G. M for ​​ ‘λ=1

Expanding (1),

x1+x2+x3=0​​ 

Put​​ x2=t and x3=s​​ 

x1+t+s=0​​ 

x1=ts​​ 

Therefore, Eigen Vector X​​ =x1x2x3=tsts=110t101s

 

Eigen vector ​​ X1=1 1   0 and X2=1  0 1​​ 

II: When​​ λ=3

AλIX=0​​ 

111111002.x1x2x3=000​​ 

R2+R1​​ 

111002002.x1x2x3=000​​ 

R3+R2;0.5R2​​ 

111001000.x1x2x3=000​​ …………(2)

 

 

Rank ( r) = 2

A.M = No. of time ‘λ=3’ is repeated = 1

G.M = n-r =3-2 =1

​​ A. M =G. M ​​ for​​ λ=3

Expanding (2)

x3=0​​ 

x1+x2+x3=0​​ 

x1+x2+0=0​​ 

x1=x2​​ 

Therefore, Eigen vector X​​ =x1x2x3=x2x20=110x2

Eigen vector​​ X3= 1 1 0

Since, A. M = G. M for all eigen values, matrix A is diagonalizable.

M1AM=D​​ 

Thus, Matrix A is diagonalized to diagonal matrix D by the transforming Matrix M, where

D=100010003​​ and​​ M=011101110

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May 19 6c) For the following data

X

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

Y

45

51

54

61

66

70

74

78

85

89

 

Find the coefficients of regression​​ bxy  and byx​​ and the coefficient of correlation ( r)  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​  ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ 8M

Answer:

Let a = 145, b = 67, c =10, c’​​ = 1, n​​ = 4

X

Y

u = X – 145

V = Y- 67

u2​​ 

u v

v2​​ 

100

45

-45

-22

2025

900

484

110

51

-35

-16

1225

560

256

120

54

-25

-13

625

325

169

130

61

-15

-6

225

90

36

140

66

-5

-1

25

5

1

150

70

5

3

25

15

9

160

74

15

7

225

105

225

170

78

25

11

625

275

625

180

85

35

18

1225

630

324

190

89

45

22

2025

990

484

 

Total

0

3

8250

3985

1933

 

Here n= 10

x=a+cu+a+c.un=145+010=145​​ 

y=b+cv=b+c.vn=67+1.310=67.3​​ 

byx=bvu=nuvu v nu2u2=1039850310825002=0.4830​​ 

bxy=buv=nuvu v nv2v2=1039850310193332=2.0616​​ 

Coefficient of correlation is​​ given by,

rx,y=byx×bxy​​ 

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =0.4830×2.0616

 ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​ ​​​​ =0.9979​​